3.6 Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad, teorema de traslacion)

Teorema 1

(Criterio de Existencia). Supongase que u(t) es una funcion definida en

0

· t < 1 que satisface las siguientes condiciones:

L1

Cada intervalo ¯nito [0;B] se puede dividir en un numero finito de intervalos

[

b0; b1] = [0; b1]; [b1; b2] ; : : : [bn¡1; bn] = [bn¡1;B] tales que u(t) es continua en

(

bk¡1; bk) y l³mt!b+

k

¡1

u

(t); l³mt!b¡k

u

(t) existen y son fiitos.

L2

Existen constantes, a real y M > 0 ,tales que

j

u(t)j · Meat para 0 · t < 1:

Entonces

s <

Teorema 2

en

1. ( Linealidad).

2. (Translacion). Si

entonces

. (Propiedades basicas). Sean u(t), v(t) funciones de orden exponencial0 · t < 1 y a, b constantes reales.Lfau + bvg = aLfug + bLfvg.^u(s) =Lfu(t)g(s) esta definida en el intervalo b < s < 1,

Lf

eatu(t)g(s) = ^u(s ¡ a)

para

a + b < s < 1.

3. (Translacion y truncamiento). Si

a > 0LfH(t ¡ a) u(t ¡ a)g(s) = e¡asLfug (s):u(t) tiene transformada de Laplace ^u(s) denida en el intervalo a <1.