3.13 Transformada de Laplace de la funcion Delta Dirac

3.14 Transformada inversa

3.12 Funcion Delta Dirac

3.11 Transformada de laplace de una funcion periodica

3.10 Teorema de convolucion

3.9 Transformada de integrales

3.8 Transformada de derivadas

3.7 Transformada de funciones multiplicativas

Teorema  [Multiplicación por .]
Sea     una función continua a trozos y de orden exponencial en , entonces:


Corolario [Multiplicación por .]
Si , entonces

3.6 Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad, teorema de traslacion)

Teorema 1

(Criterio de Existencia). Supongase que u(t) es una funcion definida en

0

· t < 1 que satisface las siguientes condiciones:

L1

Cada intervalo ¯nito [0;B] se puede dividir en un numero finito de intervalos

[

b0; b1] = [0; b1]; [b1; b2] ; : : : [bn¡1; bn] = [bn¡1;B] tales que u(t) es continua en

(

bk¡1; bk) y l³mt!b+

k

¡1

u

(t); l³mt!b¡k

u

(t) existen y son fiitos.

L2

Existen constantes, a real y M > 0 ,tales que

j

u(t)j · Meat para 0 · t < 1:

Entonces

s <

Teorema 2

en

1. ( Linealidad).

2. (Translacion). Si

entonces

. (Propiedades basicas). Sean u(t), v(t) funciones de orden exponencial0 · t < 1 y a, b constantes reales.Lfau + bvg = aLfug + bLfvg.^u(s) =Lfu(t)g(s) esta definida en el intervalo b < s < 1,

Lf

eatu(t)g(s) = ^u(s ¡ a)

para

a + b < s < 1.

3. (Translacion y truncamiento). Si

a > 0LfH(t ¡ a) u(t ¡ a)g(s) = e¡asLfug (s):u(t) tiene transformada de Laplace ^u(s) denida en el intervalo a <1.

3.5.1 Transformada de Laplace de la funcion escalon unitario

La función

como sigue

Escalón Unitario o Función de Heaviside se define

u

(t) =

½

0

1 0

t < 0< t

Desplazamiento y Amplitud de

u (t)

La función Heaviside desplazada en el tiempo se representa como

u

(t − a) =½

0

t < a

1

a < t

7

donde

a es una constante cualquiera. La amplitud de la función Heaviside puede modificarse como sigue

ku

(t) =½

0

t < 0

k

0 < t

donde

k es una constante cualesquiera. Dependiendo del valor k es la gráfica de la función:

3.5 Funcion escalon unitario

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.

[editar] Propiedades

• Cambio de signo del argumento.

• La derivada en el sentido de las distribuciones es la delta de Dirac.

• Transformada de Laplace.

• Límites.

• Es la integral de la función delta de Dirac.

3.4 Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos

Si  g(s) es una funcion definida en un intervalo a < s < 1 tal que

s

s!

g

entonces

Por ejemplo, las funciones detalladas a continuacion no son transformadas de

Laplace de funcion alguna:

Polinomicas

!1 g(s) no existe o l³m1(s) 6= 0;g(s) no es transformada de Laplace de funcion alguna

p

k

Trigonometricas, exponenciales y logaritmicas

cos  Racionales,

(s) =Xn=0 a  k sk;!s, sen !s, eas (a > 0), ln s,p(s)q(s) , con grado(p)¸grado (q).

l³m

3.3 Transformada de Laplace de funciones basicas

3.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada,pero hay funciones discontinuas, que pueden tener transformada; entonces, bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace.

Es claro que 

y

 Cuando s<=a, la integral impeopia es divergente.

La integral que define la transformada no converge necesariamente. Las condiciones suficientes que garantizan la existenia de L   [f  (t)  ]   son que f sea continua a trozos y que sea de orden exponencial.

3.1 Definicion de la transformada de Laplace

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral converge

Notas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
   1. De orden exponencial
   2. Continua a trozos